aneb etuda o možném a nemožném

Satelitní snímek místa pod výbuchem meteoru

Skutečnost, nebo fikce?

Ve druhé polovině roku 2011 došlo ve městě mezi jinými ke dvěma událostem, z nichž jedna ještě není uzavřena.

Dne 8.9.2011 byla napadena moje manželka, tedy manželka tehdejšího místostarosty, útočníkem, který je bývalým policistou. Jsem přesvědčen, že tím jsem měl být vyprovokován k fyzickému konfliktu. O tom manželka napsala svůj článek, a o dalších souvislostech jindy - stíhán jsem namísto útočníka já.
Dne 6.12.2011 byl v budově Městského úřadu napaden starosta, útočník na něj podal trestní oznámení a vyšetřován byl po dva měsíce starosta. Jeho štěstím byl plný úřad svědků, já jsem na večerní ulici to štěstí neměl, a proto jsem mohl být křivě obviněn udavačkou, která na místě nebyla. Zajímavé ovšem je, že útočníkem byl opět bývalý policista!
To mne zaujalo, a protože jsem člověk hloubavý, vzal jsem v potaz matematiku. Nešel jsem do velkých složitostí jako profesor Charles Epps ve Vražedných číslech, podržel jsem se klasické Bayesovské teorie pravděpodobnosti. A teď se na chvíli musím omluvit odpůrcům matematiky, budu řešit slovní příklad z teorie pravděpodobnosti.

Příklad
Na začátku budeme předpokládat, že uváděné jevy jsou nezávislé na sobě a dalších okolnostech. Město má 3300 obyvatel, jednoho starostu a jednoho místostarostu. Ve městě žije asi tak 5 bývalých policistů. Ročně v něm dojde asi k 20 napadením mezi občany. Já i starosta jsme ve městě asi 30 let, k oběma napadením došlo v jedné třetině jednoho roku. Pravděpodobnost, že bude stíhána oběť místo pachatele 50% (při dvou stranách konfliktu).   
Pravděpodobnost, že bude v roce napaden kterýkoli občan P₁ = 20/3300  =  0,006060606
Pravděpodobnost, že občan je bývalým policistou P₂=5/3300  =  0,001515152
Pravděpodobnost, že útočníkem bude bývalý policista P=P₁*P₂
Pravděpodobnost záměny oběti a pachatele P₃=0,5
Pravděpodobnost napadení jednoho v jednom roce s tím, že dojde k záměně útočníka a napadeného
P_starosta = P_{místostarosta} = P₁*P₂*P₃ =    4,59137*10^-06
Pro konkrétní 1 třetinu roku ze zmíněných 30 let pak bude platit
P_starosta = P_{místostarosta} = (1 - (1-P₁*P₂*P₃) ³⁰)/(3*30)  =  1,53035*10^-06

Pravděpodobnost, že v jedné třetině jednoho roku budou napadeni starosta a místostarosta potom je:    
P_celk = P_starosta *P_{místostarosta} =  2,34198*10^-12

To je hodně malé číslo. Zkusme si představit, co znamená. Tak například vzdálenost Země od Slunce v metrech  je  1,5*10¹¹. Hoďme na tuto trasu kamínek, který může "spravedlivě" dopadnout na každý z metrů této trasy. Pravděpodobnost dopadu kamínku na vybraný metr je 1/1,5*10¹¹ = 6,66667*10^-12, tedy asi dvakrát vyšší.

Jiný příklad: Na Zemi je prý v průměru za rok asi 3,5 smrtelného úrazu meteoritem. Pravděpodobnost zásahu člověka meteoritem za rok na Zemi tedy je 3,5/7mld. =  5*10^-10.
    
Takže pravděpodobnost, že budu v průběhu jednoho roku zabit meteoritem, je  213,5krát větší než pravděpodobnost události, definované v zadání našeho příkladu. Počítali jsme ovšem s čistě náhodnými ději a s tím, že jevy jsou nezávislé. Využili jsme matematické věty, že pravděpodobnosti nezávislých jevů se násobí. Došli jsme ale k cimrmanovskému závěru, že se to vlastně nemohlo stát. Jak tedy interpretovat matematiku v praxi? Protože víme, že k jevu došlo, a protože správnost matematických vět je dokázána řádnými důkazy, budeme asi muset připustit, že jevy nebyly náhodné a nebyly na sobě nezávislé. Co na čem vlastně bylo závislé? To se zatím můžeme jenom dohadovat, neboť příčinnost jevů tohoto typu matematika vyřešit nemůže. Matematika nám jen dokázala, že náhoda to pravděpodobně nebyla.

Ohořelé stromy v epicentru výbuchu

(použity ilustrační snímky z Podkamené Tungusky)